Помогите пожалуйста. Алгебра. Найти наименьшее значение выражения.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Введем функцию $f(x)=|\log_x7+\log_7x|$ , наименьшее значение которой нужно найти. Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x)=\log_x7+\log_7x= \dfrac{1}{\log_7x} +\log_7x$ , для которой найдем производную:
$g'(x)=- \dfrac{1}{\log^2_7x} \cdot(\log_7x)'+(\log_7x)'= - \dfrac{1}{\log^2_7x} \cdot \dfrac{1}{x\ln7}+\dfrac{1}{x\ln7}= \\\ =\dfrac{1}{x\ln7}\left(1-\dfrac{1}{\log^2_7x}\right)$
Находим нули производной:
$\dfrac{1}{x\ln7}\left(1-\dfrac{1}{\log^2_7x}\right)=0$
Первый сомножитель нулю не равен. Тогда:
$1-\dfrac{1}{\log^2_7x}=0 \\\ \dfrac{1}{\log^2_7x}=1 \\\ \log^2_7x=1 \\\ \left[\begin{array}{l}\log_7x=1\\\log_7x=-1\\\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=7 \\ x= \frac{1}{7} \\\end{array}$
Точка х=7 - точка минимума
Точка х=1/7 - точка максимума
Находим значение функции в точках экстремума:
$g(7)=\log_77+\log_77=1+1=2 \\\ \Rightarrow f(7)=|g(7)|=|2|=2$
Минимум для функций f и g
$g( \frac{1}{7} )=\log_\frac{1}{7} 7+\log_7\frac{1}{7} =-1-1=-2 \\\ \Rightarrow f( \frac{1}{7} )=|g( \frac{1}{7} )|=|-2|=2$
Максимум для функции g, но минимум для функции f, так как она принимает значения, равные модулям соответствующих значений функции g. Для иллюстрации: при построении графика функции f на основе графика функции g, часть графика функции g, находящаяся ниже оси х отображается симметрично в верхнюю полуплоскость
Ответ: 2

Artem112_zn (270k баллов) 08 Май, 18