Помогите пожалуйста решить экстремумы !!!!!! Срочно

Question

Дан 1 ответ

javanets_zn · Answer 1 · 2018-05-08T03:15:42+0000

Задача: найти локальные экстремумы функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$ .

Воспользуемся вторым достаточным условием экстремума: если $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) \neq 0$ , то точка $x_0$ является точкой экстремума, причём если 0" alt="f''(x) > 0" align="absmiddle" class="latex-formula">, то т. $x_0$ является точкой локального минимума, а если $f''(x) < 0$ , то точкой максимума.

1. Найдём точки, подозрительные на экстремум из условия $f'(x_0) = 0$ .

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 1)' = 4x^3 - 4x$
$4x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(4x^2 - 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ 4x^2 - 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = -1\end{array}\right.$
Таким образом, точками, подозрительными на экстремум, являются точки $x \in \left\{ 0,\:-1,\:1\right\}$

2. Определим характер данных точек экстремума. Для этого вычислим вторую производную и подсчитаем её значения в данных точках.
$f''(x) = (f'(x))' = (4x^3 - x)' = 12x^2 - 1$

$f''(0) = 12\cdot0^2 - 1< 0 \Rightarrow$ т. $x = 0$ является точкой локального максимума. Поэтому значение $f(0) = 1$ является локальным максимумом функции $f(x)$ .

0 \Rightarrow" alt="f''(-1) = 12\cdot(-1)^2 - 1 = 11 > 0 \Rightarrow" align="absmiddle" class="latex-formula"> т. $x=-1$ является точкой локального минимума. Поэтому значение $f(-1) = 0$ является локальным минимумом функции $f(x)$ .

0 \Rightarrow" alt="f''(1) = 12\cdot1^2 - 1 = 11 > 0 \Rightarrow" align="absmiddle" class="latex-formula"> т. $x=1$ является точкой локального максимума. Поэтому значение $f(1) = 0$ является локальным минимумом функции $f(x)$ .

P.S. - Прилагаю картинку со скриншотом решения, т.к. у автора вопроса почему-то некорректно отображаются формулы.