Нужно найти в основании точку, являющуюся центром описанной окружности. Это будет точка H. Тогда PH - высота пирамиды, где P - вершина пирамиды (ABC - другие три вершины) . Действительно, треугольники PAH, PBH, PCH прямоугольны и равны по двум сторонам (PH - общая сторона, AP = BP = CP), тогда из равенства треугольников получаем, что AH = BH = CH, то есть H равноудалена от вершин треугольника ABC, значит H - центр описанной окружности. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
Тогда искомые углы PAH, PBH, PCH.
Считаем, что AB - гипотенуза.
В треугольнике PAH: PHA = 90, AH = 1/2 * AB = 5/2, AP = 12.
Тогда cos PAH = 2,5/12 = 0,2083 =>
PAH = arccos 0,2083 = 78 градусов
Аналогично PBH = 78 градусов.
S ABC = 1/2 * AC * BC = 1/2 * CH * AB =>
3 * 4 = CH * 5 => CH = 12/5.
В треугольнике PCH: PHC = 90, PC = 12, CH = 12/5.
cos PCH = (12/5)/12 = 1/5 = 0,2
PCH = arccos 0,2 = 78,5
Ответ: PAH = PBH = 78, PCH = 78,5