Докажите, что сумма всех различных остатков , которые могут получиться при делении на 2001, делится на 2001.
Все остатки от деления на 2001 меньше этого числа и находятся в области [1;2000].
Найдем сумму остатков как сумму арифметической прогрессии у которой:
a1=1 an=2000 d=1 n=2000 по формуле
S =(2a1+(an-1)*d)*n/2 =(2+(2000-1)*1)*2000/2 = 2001*1000=2001000.
Видно что сумма всех остатков число 2001000 делется нацело на 2001.
Доказано