В прямоугольный треугольник с углом 30 градусов вписан круг радиуса 8 см. найдите площадь...

Угол ABC=90-30=60, проведем радиуса из цента окружности к сторонам треугольника и отрезок BO.
Треугольники FOB и OEB равны, по общей гипотенузе ОВ и катетам FO и OE, следовательно BO - биссектриса, следовательно угол FBO=OBE=30, катет против угла в 30 равен половине гипотенузе, следовательно OB=16. AFOH-квадрат. По теореме Пифагора:

$BE^2=BO^2-OE^2\\ BE^2=256-64=192$

Пусть x=HC=EC, тогда по теореме Пифагора:

$(BF+FA)^2+(AH+x)^2=(BE+x)^2$

$(\sqrt{192}+8)^2+(8+x)^2=(\sqrt{192}+x)^2\\\\ x=\frac{8*(\sqrt{192}+8)}{(8-\sqrt{192})}=\frac{8(\sqrt{3}+1)}{1-\sqrt{3}}$

$S=\frac{AB*AC}{2}=\frac{32(4+2\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}}$