Продолжение хорды дв пересекает касательную к этой окружности в точке а,с-точка касания....

Question

Продолжение хорды дв пересекает касательную к этой окружности в точке а,с-точка касания. докажите что треугольники адс и авс подобны

Answer 1

Вписанный угол CDA опирается на дугу СВ, и равен половине градусной меры этой дуги. Угол СВА между касательной АС и хордой СВ также измеряется половиной дуги СВ, поэтому у треугольников DCA и ABC, кроме общего угла САВ, есть еще равные углы ВСА и ADC. Поэтому эти треугольники подобны (у них равны все углы). 

Отсюда сразу следует, что АВ/АС = АС/AD; или AC^2 = AB*AD; известное свойство секущей и касательной из точки вне окружности.

Comments

Есть на много более интересная задача. Пусть из точки А проведены две симметричных относительно АО секущих АВD и AB1D1. Надо доказать, что положение точки пересечения М отрезков BD1 и B1D не зависит от величины угла ВАВ1. Для этого надо доказать подобие треугольников ОМВ и ОВА. Вот это чуть-чуть сложнее. :) Хотя и не на много.

---

После того, как подобие OMB и OBA доказано, получается ОМ*ОА = r^2;

---

Кто не понял - секущая ABD - это прямая, пересекающая окружность в точках B и D

---

Доказательство такое - вписанный угол BDB1 равен центральному углу АОВ (так как дуга, соответствующая АОВ, равна половине дуги ВВ1), угол ВМО равен углу D1MA, поэтому угол OBM равен углу MAD1, а, значит, и - углу MAD. Поэтому у тр-ков ВМО и АВО равны углы, то есть они подобны, и ОМ/ОВ = ОВ/ОА; OM*OA = OB^2 = r^2; поэтому положение точки М не зависит от выбора секущей AB; => OM = r^2/OA.

---

точка М называется "инверсией" точки А относительно окружности радиуса r с центром О.

---

мало ли, вдруг кому пригодится :)