9 КЛАСС ГЕОМЕТРИЯ.Написать уравнение окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр(0;-3)...

1. Т.к. ABC - равносторонний, центр окружности O лежит на высоте BH, проведённой к стороне AC. Поэтому радиус вписанной окружности $r = OH$ . Найдём $OH$ .

а) $\overrightarrow{BO} = (x_O - x_B; y_O - y_B) = (0 - (-2); -3 - (-2)) = (2; -1)$ . Значит, $BO = \left| \overrightarrow{BO} \right| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ .

б) В равностороннем треугольнике все высоты являются медианами, которые, в свою очередь, делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ , считая от вершины. Поэтому $\frac{BO}{OH} = \frac{2}{1}$ . Отсюда имеем: $OH = \frac{BO}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Таким образом, нашли радиус вписанной окружности $r = OH = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

2. Составим уравнение окружности, проходящей через т. $O(0;-3)$ радиусом $r = \frac{\sqrt{5}}{2}$ . Имеем:

$(x-x_O)^2 + (y-y_O)^2 = r^2$
$(x-0)^2 + (y-(-3))^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2$
$x^2 + (y+3)^2 = \frac{5}{4}$

Ответ: $x^2 + (y+3)^2 = \frac{5}{4}$