Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. найдите расстояние от вершины А до плоскости А1ВТ, где...

Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. найдите расстояние от вершины А до плоскости А1ВТ, где Т-середина ребра АD

Comments

желательно геметрическим методом

Answer 1

Или, например, координатным методом:
Введем СК так, чтобы A=(0,0,0), B=(1,0,0), D=(0,1,0), A1=(0,0,1). T=(A+D)/2=(0,1/2,0)
Найдем уравнение плоскости (A1BT). Ищем в виде ax+by+cz=1.
Подставляем точку A1: с*1=1, c=1. Аналогично, a=1 и b=2.
Уравнение плоскости x+2y+z=1, вектор нормали (1,2,1). Нормируем его, для этого делим его на его длину sqrt(6).

Найдем проекцию вектора AA1 = (0,0,1) на нормированный вектор нормали (это и есть искомое расстояние):
(0,0,1)*(1,2,1)/sqrt(6)=1/sqrt(6).

Ответ. 1/sqrt(6).

Comments

Просили же геометрическим :))) координатным методом это на много проще. Уравнение плоскости 2x+y+z =1 пишется сразу (это уравнение плоскости "в отрезках"); ортогональный вектор (2,1,1) имеет норму √6; то есть уравнение плоскости имеет вид (n,r) = 1/√6; где r = (x,y,z); единичный вектор нормали n = (2/√6, 1/√6, 1/√6); в правой части стоит искомое расстояние от начала координат - точки А (0,0,0) до плоскости.