Доказываем методом индукции проверяем что при n=1 правидло выполняется, полагаем что оноверно для любого n<=k<br>8k^3-2k делится на 3
8(k+1)^3-2k-2=8k^3+8-2-2k+24k+24k^2=(8k^3-2k)+3(8k^2+8k+2) первое слагаемое
делится на 3 по предположению, а второе содержит 3 ввиде множителя.
следовательно ився сумма делится на 3. положение индукции доказано.
n=1 (1+1)(1+5) - делится на 6
(k^2+k)(k+5) -делится на 6
((k+1)^2+(k+1))(k+1+5)
(k+1)(k+1+1)(k+1+5)=(k+1)(k+2)(k+6)=(k+1)(k^2+12+5k+3k)=
(k+1)(k^2+5k)+3(k+1)(4+k)
пусть k- четно, тогда 4+k тоже четно, произведение четного на нечетное
четно. следовательно второе слагаемое кратно 6.
если k нечетно тогда k+1 четно и мы приходим выше изложенному утвеждению.
доказано методом индукции.
3. n=4 4^3-4*4=48 кратно 48.
n=2k (2k)^3-4(2k)
(2k+2)^3-4(2k+2)=[(2k)^3-4(2k)]+8-8+24k^2+24k
24(k^2+k)=24k(k+1) k(k+1) четно значит 24k^2+24k кратно 48.
доказано.