Наиболее очевидный частный случай, если трапеция равнобедренная. Решения для этого случая приведены выше.
Рассмотрим вариант с прямоугольной трапецией.
Пусть высота (она же одна из сторон) равна х, вторая сторона у.
Тогда периметр х+у+9+15=34 => х+у=10
Теперь рассмотрим треугольник, который образует сторона, не образующая прямой угол с основанием, высота опущенная из точки пересечения этой стороны с малым основанием на большое основание и отрезок между этой высотой и и точкой пересечения этой стороны с большим основанием (треугольник CDH, см рисунок).
HD=AD-AH, т. к. АН=ВС=9, а AD=15, то HD=15-9=6
По теореме Пифагора: CD^2=CH^2+HD^2 или CD^2-CH^2=HD^2
т. е. у^2-x^2=36
Решаем систему уравнений:
{ х+у=10
{у^2-x^2=36
Например, таким способом: домножаем первое уравнение на (х-у) и складываем его со вторым.
Получаем уравнение: 10(х-у) -36=0, откуда х-у=3,6. Складывая его с первым уравнением, получаем 2х=13,6
Т. о. х=6,8
S=((a+b)/2)*h
а=9; b=15; h=x=6,8
S=((9+15)/2)*6.8=81.6