Я не нашел "школьного" решения, но уж
то, что нашел, приведу.
Пусть
начало координат расположено в середине АС, и ось Z проходит через точку S, а
ось Y - через точки С и А. Положение точки В составляет суть задачи.
Я
полагаю координаты точки С(0,-a, 0), где а - неизвестная величина (половина
длины стороны основания). Ясно, что sin(α/2) = a/b; где α –
искомый угол ASC; то есть найдя а, найдется и α;Тогда координаты А (0,а,0) S(0,0,√(b^2 - a^2))
Для
начала надо составить уравнения сфер, на которых заведомо лежит точка В.
Сфера,
касающаяся плоскости SAC, то есть плоскости x = 0; имеет радиус b/2; центр лежит на перпендикуляре из точки С к плоскости x = 0; то есть
на прямой II оси X. Уже можно записать формулу
(x -
b/2)^2 + (y + a)^2 + z^2 = (b/2)^2;
Вторая
сфера, на которой заведомо лежит точка В - это сфера с центром в точке С и
радиусом в 2*а. На этой же сфере лежит точка А. Это утверждение означает всего
лишь то, что расстояние от В до С равно 2*а, что совершенно очевидно, поскольку
в основании пирамиды правильный треугольник.
x^2 +
(y + a)^2 + z^2 = (2*a)^2;
Аналогичное
условие можно было бы записать и для точки А, уравнение отличалось бы знаком в
слагаемом с y: (y - a) вместо (y + a); Но есть очевидное условие, которое это делает ненужным. Но сначала - третья сфера, уравнение которой
просто означает, что расстояние от В до S равно b;
x^2 +
y^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2;
У нас
есть 3 уравнения, которые надо решать совместно. Первое, и самое
сильное упрощение состоит в том, что заведомо y = 0; Совершенно очевидно, что
точка В должна лежать на плоскости XZ, поскольку она равноудалена от точек А и
С. Поэтому уравнения упрощаются
(x - b/2)^2 + a^2 + z^2
= (b/2)^2;
x^2 + a^2 + z^2 =
(2*a)^2;
x^2 + (z - √(b^2 -
a^2))^2 = b^2;
если немного преобразовать, получается
x^2 –b*x + (b/2)^2 + a^2
+ z^2 = (b/2)^2; или x^2 + z^2 = b*x – a^2;
x^2 + z^2 = 3*a^2;
x^2 + z^2 – 2*z*√(b^2
- a^2) + b^2 – a^2 = b^2; или x^2 + z^2 = 2*z*√(b^2
- a^2) + a^2
И теперь уже совсем просто – сначала x и z легко
выражаются через a;
x = 4*a^2/b; z = a^2/√(b^2 - a^2)
остается подставить это во второе соотношение x^2 + z^2 = 3*a^2;
(4*a^2/b)^2 + a^4/(b^2 –
a^2) = 3*a^2; или 16*(a/b)^2 + (a/b)^2/(1 – (a/b)^2) = 3;
с учетом sin(α/2) = a/b; получается
16*(sin(α/2))^2 + (sin(α/2))^2/(cos(α/2))^2 = 3;
Осталось заметить, что квадраты синуса и
косинуса половинных углов выражаются через косинус полного (sin(α/2))^2
= (1 – cos(α))/2; (cos(α/2))^2 = (1 +
cos(α))/2;
Что приводит к окончательному уравнению
4*x^2 + 2*x – 3 = 0; где
x = cos(α); x = (√13 –
1)/4;
Ответ α = arccos((√13 – 1)/4);