Для измерения сопротивления изоляции в проводах, находящихся под напряжением, измеряют...

Question

Для измерения сопротивления изоляции в проводах, находящихся под напряжением, измеряют посредством вольтметра с большим внутренним сопротивлением R напряжения:
1) между первым и вторым проводами (U);
2) между первым проводом и землей (U1);
3) между вторым проводом и землей (U2).
Чему равны сопротивления изоляции первого и второго проводов по отношению к земле R1 и R2 при таких данных:
R = 20 000 Ом;
U = 120 В;
U1 = 8 В;
U2 = 10 В?

P.S.: Ответ представлен на втором изображении. В этой задаче важнее расписать решение, заранее искренне благодарен.

---

---

Answer 1

Поскольку при подключении ни к одному из двух проводов не получаются показания в ноль вольт, то значит, источник напряжения не заземлён.

Поскольку никакая изоляция не может иметь бесконечного сопротивления, то значит, один из проводов через свою изоляцию R1 всегда подключён к земле, а второй подключён к земле через R2.

Т.е. на данном источнике напряжения всегда имеется замкнутая цепь R1+R2.

Когда вольтметр подключают между первым проводом и землёй, то значит, его подключают параллельно R1. Сопротивление между вторым проводом и землёй по-прежнему создаётся только его изоляцией R2. А общее сопротивление вольтметра и первой изоляции R1 будет в таком случае:

1/[1/R1+1/R] ;

Напряжение U в этом случае распределится пропорционально сопротивлениям, т.е. на вольтметре окажутся показания:

U1 = U/[1/R1+1/R]/[ R2 + 1/[1/R1+1/R] ] ,     аналогично при втором измерении:

U2 = U/[1/R2+1/R]/[ R1 + 1/[1/R2+1/R] ] ;

1 + R2(1/R1+1/R) = U/U1 ;

1 + R1(1/R2+1/R) = U/U2 ;

R2(1/R1+1/R) = U/U1 – 1 ;

R1(1/R2+1/R) = U/U2 – 1 ;

1/R1+1/R = (U/U1–1)/R2 ;    [1]

1/R2+1/R = (U/U2–1)/R1       [2] , домножим на (U/U1–1)

(U/U1–1)/R2 + (U/U1–1)/R = (U/U1–1)(U/U2–1)/R1        [2*] , сложим с [1] :

1/R1 + 1/R + (U/U1–1)/R = (U/U1–1)(U/U2–1)/R1 ;

[U/U1]/R = ( U²/[ U1 U2 ] – U/U1 – U/U2 ) / R1 ;

R1 = R [U1/U] ( U²/[ U1 U2 ] – U/U1 – U/U2 ) ;

R1 = R ( U/U2 – 1 – U1/U2 ) ;

R1 = R(U–U1–U2)/U2 ≈ 20 000 ( 120 – 8 – 10 ) / 10 ≈ 204 кΩ ;

Из симметрии (равноправия) проводов, или через аналогичный вывод можно показать, что:

R2 = R(U–U1–U2)/U1 ≈ 255 кΩ .

Comments

В подобной реальной ситуации – провода, как правило, не разведены на большое расстояние, а расположены рядом. А поэтому побочную холостую проводимость (утечки) между проводами под напряжением – нужно учитывать не только по каналу «изоляция1-земля-изоляция2», но и по прямому каналу «изоляция1-изоляция2». Таким образом, провода под напряжением оказываются связанными (за исключением источника и нагрузки) по двум каналам утечки, топологически образуя треугольник связей «жила1-жила2-земля».

---

Поскольку на канал утечки «жила1-земля-жила2» приходится примерно половина проводимости изоляции, а вторая половина проводимости изоляции приходится на канал утечки «жила1-жила2», то в наших расчётах мы нашли только половину проводимости, т.е. удвоенное сопротивление изоляций на проводах. Поэтому, в реальной ситуации, при использовании подобных формул нужно добавить в знаменатель двойку. И получится: R1 = R [U–U1–U2]/[2*U2] и R2 = R [U–U1–U2]/[2*U1].

---

Т.е. при данных параметрах выйдет 102 кΩ и 128 кΩ. Я не стала этого писать, поскольку ожидался определённый ответ. И он верен, но только при условии, что провода под напряжением представляют собой отдельные разведённые на приличное расстояние провода, а не сдвоенный двухполосный кабель.

---

Кроме прочего, любопытно, как для реальной ситуации, всё это может сказаться на расходе электрического тока. В быту используются провода с изоляционным сопротивлением 500 кОм*м. Т.е., например, провод имеющий длину 20 метров имеет изоляционное сопротивление: R = 500 кОм*м / 20 м = 25 кОм. При напряжении в 220 В – в холостую будет тратиться 220²/25000 ≈ 2Вт; за сутки 50 Втч, за месяц – 1.5 кВтч, за год – 20 кВтч. Около 100 рублей чистых потерь.