В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус...

Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями SAD и BCF, где F - середина ребра AS

Answer 1

Мне очень понравился коротенький документ в предыдущем решении, я вдохновился :) и сделал свой вариант.
Пусть начало координат находится в центре основания, а вершины лежат в точках 
А(1,0,0) B(0,-1,0) C(-1,0,0) D(0,1,0) S(0,0,1); ребра такой пирамиды равны √2, а не 1, но угол между плоскостями от этого не зависит.
Плоскость SAD отсекает на осях отрезки (ориентированные) 1,1,1, поэтому её уравнение x + y + z = 1; перпендикулярный этой плоскости вектор (1,1,1).
Для плоскости BCF известно, что она отсекает на оси X отрезок -1 и на оси Y тоже. Осталось выяснить, через какую точку на оси Z она проходит. 
В треугольнике BSD BF и SO – медианы, поэтому точка их пересечения отсекает от SO отрезок SO/3 = 1/3, и BF принадлежит плоскости BCF, то есть эта плоскость проходит через точку (0,0,1/3). 
Отсюда уравнение плоскости BCF:  -x - y + 3z = 1; перпендикулярный ей вектор (-1,-1, 3);
Угол между векторами (1,1,1) и (-1,-1,3) и есть искомый угол.
Модули векторов √3 и √11; скалярное произведение (-1 -1 + 3) =1; 
поэтому косинус угла равен 1/√33;

Примечание
Если известно, что плоскость проходит через точки (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c), то уравнение плоскости x/a + y/b + z/c = 1; доказать это элементарно, достаточно убедиться, что все три точки удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость. Это называется уравнение плоскости "в отрезках".

Comments

Если известно, что плоскость проходит через точки (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c) то уравнение плоскости x/a + y/b + z/c = 1; доказать это элементарно, достаточно убедиться, что все три токи удовлетворяют этому уравнению, а через три точки можно провести только одну плоскость. Это называется уравнение плоскости "в отрезках".

---

Ну, еще такое замечание. Уравнение плоскости A*x + B*y + C*z + D = 0 легко переписать в равносильном виде (P,r - r0) = 0; (все векторы!) где вектор P = (A, B, C); P*r0 = D (а вот тут модули, и вектор r0 параллелен (коллинеарен) вектору Р). Смысл равенства нулю скалярного произведения (P,r - r0) = 0; в том, что все векторы r - r0 находятся в плоскости, перпендикулярной вектору Р и проходящей через точку, задаваемую вектором r0. Для уравнения в отрезках P = (1/a,1/b,1/c)

---

модуль r0 = 1/IPI; по смыслу это расстояние от точки О(0,0,0) до плоскости, то есть h - высота "ориентированной пирамиды", для которой a b c - боковые ребра.

---

Поскольку это отрезки осей, они попарно перпендикулярны. Объем пирамиды равен V = abc/6 = S*h/3; откуда S = abc*IPI/2 = (1/2)*√(a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2); - это площадь треугольника, вершины которого - точки (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c). Интересно, можно ли таким способом получить формулу Герона? :) То есть ясно, что можно :))) только как :)?

---

о, да это и не так сложно! стороны этого треугольника u^2 = a^2 + b^2; v^2 = a^2 + c^2; w^2 = b^2 + c^2; отсюда b^2 = (u^2 - v^2 + w^2)/2; a^2 = (u^2 + v^2 - w^2)/2; c^2 = (- u^2 + v^2 + w^2)/2; это надо подставить в S = (1/2)*√(a^2*b^2 + a^2*c^2 + b^2*c^2); и долго возиться, пока не получится нужная формула Герона :)))))

---

надо будет это оформить и послать куда нибудь, в тот же Квант, если он еще жив :))))

---

Между прочим, в моем решении тоже обнаружились ИЗБЫТОЧНЫЕ усилия. Не надо было строить треугольник MSK, все сразу получается из треугольника BSD, в котором ЗАДАНО, что BF - медиана, и SO - тоже медиана, откуда сразу получается 1/3; :))))) я уже подумываю, не попросить ли модератора открыть для исправлений.

---

изменил решение, теперь оно минимально :)) нет пределов для совершенства :))

Answer 2

Все просто решения в документе!!!!!!!!!!!!УДАЧИ))))))))

Comments

это почти диссертация :)) мне понравилось :)