Log_(2^x -2)² 4(2^2x -5*2^x +6) + Log_(2^x -2)² (1/4)*(2^2x -7*2^x +10) ≥3/2;
замена: t =2^x >0 , если ( t -2)² ≠ 0 и (t -2)² ≠ 1 т .е . t ≠ 1 ; 2 ; 3
(0) //////// (1 ) ///////// (2) ///////// (3) //////////////
Log_(t -2)² 4(t -2)*t -3) + Log_(t-2)² (1/4)*(t -2)*(t - 5) ≥ 3/2 ;
добавляем еще ограничения :
{ (t -2)*t -3) > 0 ; (t -2)*(t - 5) >0⇔ t ∈ (- ∞ ; 2) U (5 ;∞) .
В итоге для переменной t = 2^x :
(0 )////////////////////// (1) /////////// (2) ------------- (5) //////////////// * * * ОДЗ t * * *
Log_(t -2)² (t -2)²*t -3) *(t - 5) ≥ 3/2 ;
1+Log_(t -2)² (t - 3) *(t - 5) ≥ 3/2 ;
Log_(t -2)² (t - 3)*(t - 5) ≥ 1/2 ;
a) 0< (t -2)² <1</strong> ⇔ { t ≠2 ; -1< t -2 < 1 ⇔ { t ≠2 ; 1< t <3<span> .
учитывая t < 2 , получаем 1 < t < 2 . <br>---
(t -3)*(t - 5) ≤ √(t -2)² ;
t² -8t +15 ≤ | t -2 | ;
t² -8t +15 ≤ 2 - t ;
t² -7t +13 ≤0
(t -7/2)² +3 /4 ≤ 0 ⇒ t ∈ ∅ ⇔ x ∈ ∅ .
* * *
b) (t -2)² >1 ⇔ (t -1)*(t -3) >0 ⇔ t ∈ (-∞; 1) U (3 ; ∞)
учитывая ОДЗ : t ∈ (0; 1) U (5 ; ∞) .
{ t ²-8t +1 5 ≥ | t -2 | ;
b₁) t ∈ (0; 1) .
t ²-8t +15 ≥ 2-t ;
t ²-7t +13 ≥0 ⇔ (t -7/2)²t +19/4 ≥ 0 для всех t ∈ (0; 1) ;
⇔0 <2^ x <1 ⇒ 2^ (x ) < 2⁰ ⇔ <strong> x ∈ ( - ∞ ; 0) .
b₂) t ∈ (5; ∞) .
t ²-8t +15 ≥ t - 2 ;
t ²- 9t +17 ≥ 0 ; t ∈ ( -∞ ; (9 -√17) /2] U [ (9 +√17) /2 ; ∞ ) ;
учитывая и t ∈ (5; ∞) получаем t ∈ [ (9 +√17) /2 ; ∞ )
⇒ 2^ (x ) ≥ (9 +√17) /2 ⇔ x ∈ [ Log_2 (9 +√17) /2 ; ∞ ) .
ответ : x ∈ ( - ∞ ; 0 U [ Log_2 (9 +√17) /2 ; ∞ ) .