через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая...

Question

через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади четырёхугольника КРСМ к площади треугольника АМК

Answer 1

Пусть

Рассм. треугольники ABM и CBM

Их площади равны, т.к. медиана BM делит треугольник ABC на ранвые площади

соответственно

SABM=SBMC 

1/2BK*AK*sin(180-a)+1/2 AK*KM*sin a=1/2BK*KP*sin a+KP*KM*sin(180-a)

1/2AK+1/2AK=1/2KP+KP

AK=3/2KP

AK/KP=3/2

SBKP/SAKM=(1/2BK*KP*sin a)/(1/2*AK*KM*sin a)=KP/AK

=> KP/AK=2/3