В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям и равна 6 , а боковая...

Чертеж - во вложении.
1) Через точку С проведем прямую, параллельную диагонали ВД. Пусть Е - точка пересечения этой прямой и продолжения основания АД.
Т.к. ВС||ДЕ и ВД||СЕ, то ДВСЕ - параллелограмм. Поэтому СЕ=ВД и ВС=ДЕ.
Т.к. АС⊥ВД и ВД||СЕ, то АС⊥СЕ, поэтому ∆АСЕ - прямоугольный.
2) Опустим высоту СН. Тогда АВСН-прямоугольник и СН=АВ=6, АН=ВС.
Тогда в прямоугольном ∆СНД по теореме Пифагора
$HD=\sqrt{CD^2-CH^2}=\sqrt{61-36}=5$
3) Пусть ВС=х, тогда АД=х+5, АЕ=2х+5.
4) В  ∆ВАД по теореме Пифагора $BD^2=AB^2+AD^2=6^2+(x+5)^2$
5) В  ∆АBC по теореме Пифагора $AC^2=AB^2+BC^2=6^2+x^2$
6) В  ∆АCE по теореме Пифагора
" alt="AE^2=AC^2+CE^2,\ CE^2=BD^2\ =>" align="absmiddle" class="latex-formula">
$(2x+5)^2=6^2+x^2+6^2+(x+5)^2\\ 4x^2+20x+25=72+2x^2+10x+25\\ 2x^2+10x-72=0\\ x^2+5x-36=0\\ x_1=-9,\ x_2=4$
х=-9 - не удовлетворяет условию.
Значит, ВС = 4, АД = 4 + 5 = 9.
Ответ: 4 и 9.