n=1
1/(1*3*5)=1*2/(2*3*5)
1/15=1/15 ⇒A(1) - истинно.
Пусть к - натуральное число и утверждение справедливо для n=k.
Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е.
(k+1)/((2(k+1-1)(2(k+1)(2k+3)) =(k+1)(k+2)/(2*2(k+1)+1)(2(k+1)+3))
(k+1)/(( 2k+1)(2k+3)(2k+5))=(k+1)(k+2)/(2( 2k+3)(2k+5)).
k(k+1)/(2(2k+1)(2k+3)+(k+1)/((2k+1)(2k+3)(2k+5))=
(k(k+1)(2k+5)+2(k+1))/(2(2k+1)(2k+3)(2k+5))=
(k+1)(k(2k+5)+2)/(2(2k+1)(2k+3)(2k+5))=
=(k+1)(2k²+5k+2)/(2(2k+1)(2k+3)(2k+5))=
=(k+1)(2*(k+2)(k+1/2)/(2(2k+1)(2k+3)(2k+5))=
(k+1)(k+2)(2k+1)/(2(2k+1)(2k+3)(2k+5)=(k+1)(k+2)/(2(2k+3)(2k+5) ⇒ Справедливость утверждения доказана.