в треугольник со сторонами АВ= 5, ВС=7 и АС=6 вписан круг. точка пересечения круга со...

Question

в треугольник со сторонами АВ= 5, ВС=7 и АС=6 вписан круг. точка пересечения круга со стороной АС точка Д. Найти длину ВД

Answer 1

Пусть точки Е F  будут точки касания окружности с сторонами , так как касательные проведенные с одной точки равны, в нашем случае AE=AD ; EB=BF ; EC=DC. Переобозначим их как x, z,y . 
AB=x+z=5
BC=z+y=7
AC=x+y=6
решим систему 
{x+z=5
{z+y=7
{x+y=6

{x=5-z
{z+y=7
{5-z+y=6

{z+y=7
{y-z=1

{z=7-y
{y-7+y=1
{2y=8
{y=4
{z=3
{x=2
Мы узнали длин до точек касания , теперь найдем по теореме  косинусов сам угол ВАС. 
7^2=5^2+6^2-2*5*6*cos(ABC)
cosa=(49-25-36)/-60 = 1/5 

Теперь нашу сторону ВД опять по теореме косинусов 
BD=√(5^2+2^2-2*5*2*(1/5)) = √25 = 5
Ответ ВД  = 5 

Answer 2

Т к это вписаная окружность то AD=(5+6-7)/2=2
тогда из теоремы косинусов AB^2+AC^2-2AB*AC*cos(A)=BA^2 => 25+36-60*cos(A)=49 => cos(A)=1/5
снова теорема косинусов AB^2+AD^2-2AB*AD*cos(A)=BD^2 подставляем все значения и cos(A)=1/5 тоже
25+4-2*10/5=25 => BD=5