Будем считать, что подшипник падает на наклонную плоскость, сохраняя после всех ударов своё собственное вертикальное положение (так что его ось вращения всегда горизонтальна). В таком случае – его внутренний обод не будет приходить во вращательное движение из-за возможной силы трения. Если бы мы знали, соотношение масс внутреннего и внешнего обода подшипника – мы могли бы попробовать учесть часть энергии, переходящей во вращение внешнего обода после ударов, но поскольку такое соотношение не задано, то остаётся просто считать, что такими преобразованиями энергии мы должны пренебрегать.
И вообще, сказано, что трением о плоскость нужно пренебречь, а поэтому внешний обод подшипника даже и не может раскручиваться, так что, не совсем ясно, для чего авторы задачи говорят именно о «подшипнике». Достаточно было бы сказать, что падает просто упругий шарик. Как бы то ни было, мы будем решать данную задачу просто для материальной точки, считая движение подшипника – поступательным.
Итак. Движение подшипника происходит в вертикальном потенциальном гравитационном поле Земли. Тем не менее, наиболее удобно решить задачу, направив пространственные оси системы координат параллельно и перпендикулярно наклонной плоскости. Направим ось Ох – параллельно плоскости вниз, а ось Оy – перпендикулярно плоскости. В такой системе координат мы можем рассмотреть два взаимно перпендикулярных потенциальных поля, являющихся проекциями на наши оси исходного гравитационного. Продольное поле будет придавать подшипнику продольное ускорение. А поперечное – мы можем по полной аналогии: просто считать ослабленным потенциальным полем Земли и использовать законы движения в поле тяготения с поперечной к плоскости составляющей ускорения свободного падения.
В итоге, мы просто можем рассматривать всё движение так, как будто оно происходит на ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ плоскости, где действует вертикальное гравитационное поле с ускорением свободного падения gy = –gcosφ, а кроме того, что вдоль плоскости просто действует ещё одно горизонтальное потенциально поле, разгоняющее подшипник вдоль плоскости с ускорением gx = gsinφ . Отсюда следует вывод, что по поперечной оси подшипник между ударами будет подпрыгивать на одну и ту же высоту над плоскостью поперечно ей и при каждом ударе иметь одну и ту же составляющую поперечной скорости. Поскольку поперечное ускорение неизменно, то, стало быть, и время между ударами – всегда будет одно и то же, и будет равно удвоенному времени падения подшипника с начальной высоты:
h = g τ²/2 , где τ – время падения с начальной высоты в обычных координатах.
τ = √[2h/g] ;
T = 2τ = 2√[2h/g] – период времени между каждыми двумя последовательными ударами подшипника.
По оси Ох подшипник движется просто равноускорено, так что его уравнение движения описывается так:
S = vox t + gx t²/2 , где vox – начальная продольная составляющая скорости подшипника в момент первого удара;
gx t²/2 + vox t – S = 0 ;
D = vox² + 2Sgx ;
t = ( √[ vox² + 2Sgx ] – vox ) / gx
Число периодов T в длительности t и покажет число ударов о плоскость. Причём округлять нужно в большую сторону, поскольку период первого полёта длиться уже ПОСЛЕ (а не до) первого удара, период второго полёта длится уже после второго удара и т.д. И после последнего удара подшипник начнёт движение в своём последнем периоде полёта. И вне зависимости от того, на каком этапе этот период прервётся – мы должны его учесть при подсчёте числа ударов. Итак, округляем в большую сторону:
N = E[t/T] + 1 , где E[] – целая часть числа.
N = E[ √g ( √[ vox² + 2Sgx ] – vox ) / ( 2gx √[2h] ) ] + 1 ;
vox = vo sinφ ;
mvo²/2 = mgh – из закона сохранения энергии в обычных координатах до первого удара;
vo² = 2gh ;
vo = √[2gh] ;
vox = vo sinφ = √[2gh] sinφ ;
vox² = 2gh sin²φ ;
N = E[ √g ( √[ 2gh sin²φ + 2Sgsinφ ] – √[2gh] sinφ ) / ( 2gsinφ √[2h] ) ] + 1 ;
N = E[ (1/2) ( √[ 1 + S/(hsinφ) ] – 1 ) ] + 1 ;
N = E[ (1/2) ( √[ 1 + 50/0.4 ] – 1 ) ] + 1 = E[ (1/2) ( 3√14 – 1 ) ] + 1 = 6 ;
ОТВЕТ: 6 ударов.