Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC...

Question

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB/ Найти отношение площади треугольника BKP к площади треугольникаAMK

Answer 1

Т.к. ВМ – биссектриса треугольника АВС, то S(АВМ)=S(ВСМ)

!!! Т.к. АК – биссектриса треугольника АВМ, то S(АВК)=S(АКМ)=S(АВМ)/2=S(ВСМ)/2

Проведем МТ так, что МТ || КР. Тогда КР - средняя линия в треуг-ке ВМТ, а МТ - средняя линия в треуг-ке АРС, значит ВР=РТ=ТС, т.е. ВС=3ВР. По условию ВК=КМ, т.е. ВМ=2ВК. Тогда:

S(KBP)=1/2*ВК*ВР*sinКВР

S(ВСМ)=1/2*ВМ*ВС*sinКВР=1/2*2ВК*3ВР*sinКВР=3*ВК*ВР*sinКВР

!!! Тогда  S(KBP)/S(ВСМ) = 1/ 6

Сравниваем строчки , помеченные !!! и получаем  S(ВКР) : S(АKМ) = 1:3