Рассмотрим
проблему существования решений
уравнения х2 – y2 = k
в целых
числах.
Докажем,
что если целые числа х и
y есть решение
этого уравнения, то число k при делении на 4 не дает в остатке 2Итак,
пусть существуют целые числа х и
y, которые удовлетворяют этому уравнению, тогда:если оба числа х и y – четные, то
числа х2 и
y2 делятся на 4, откуда следует, что и разность х2 – y2 = k
делится на 4;если одно из чисел х или y четное, а
другое нечетное, то число х2 – y2 , а значит и число k нечетное;если оба числа х и y – нечетные, то так как квадрат
нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1 (докажите это
самостоятельно), заключаем, что число х2 – y2 = k
делится на 4.Таким образом, мы
убедились, что если целые х и y – решение
уравнения, то число k при делении на 4 не может давать в
остатке 2.Докажем обратное
утверждение: если целое число k при делении на 4 не дает в остатке
2, то уравнение имеет решение.Если k удовлетворяет этому условию и является четным числом,
то оно делится на 4, следовательно, (k/4) есть целое число.
Тогда нетрудно убедится в том, что целые числа х=(k/4)+1 и y=(k/4)-1 являются решением
этого уравнения.Если
k удовлетворяет условию и является
нечетным числом, то k=2т+1, где т некоторое целое число. Тогда нетрудно убедиться в том, что числа х=
т+1, y= т – целые и удовлетворяют уравнению.