Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности,...

Question

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP равен 12 см, тангенс угла ABC равен 2,4. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Answer 1

радиус вписанной окружности r = S / p = 2S / P, P---периметр

S(ABC) = AC*BC/2

tg(ABC) = AC/BC => AC = 2.4*BC

AB^2 = AC^2 + BC^2 = (2.4*BC)^2 + BC^2 = BC^2*(2.4*2.4+1) = 6.76*BC^2

AB = 2.6*BC

P(ABC) = AB+AC+BC = 2.6*BC+2.4*BC+BC = 6*BC

r = AC*BC / 6*BC = AC/6

аналогично для треугольника ACP:

треугольники АВС и АРС подобны (они прямоугольные, угол А ---общий) => 

угол АСР = углу АВС => tg(ABC) = tg(АCР) = АP/СP => АP = 2.4*СP

AС^2 = CР^2 + АР^2 = CР^2 + (2.4*СP)^2 = CР^2*(2.4*2.4+1) = 6.76*CР^2

AС = 2.6*CР

S(ACP) = CP*AP/2

r(ACP) = 12 = CP*AP/(AC+CP+AP)

CP*AP = 12(AC+CP+AP) 

СР*2.4*СP = 12(2.6*CР+СР+2.4*СP)

СР*2.4*СP = 12*6*CР

СР = 12*6/2.4 = 30

АС = 2.6*30

r = AC/6 = 2.6*30/6 = 2.6*5 = 13