Помогите довести что при все значениях исполняеться функция: х в квадрате +у в квадрате+...

Ну смотри. Доказывать можно как графически, так и алгебраически. Просто я тебе не смогу график нарисовать, а алгебраически сейчас распишу.
Тут просто можно сделать таким образом:
$x^2+y^2+8x-10y+42=(x^2+8x+16)+(y^2-10y+25)+1$
Тут просто выделяем полный квадрат и получаем:
$(x+4)^2 + (y-5)^2+1$
Т.к. квадраты всегда больше или равны нулю, то и эта сума будет больше нуля:
$(x+4)^2\ \textgreater \ 0; (y-5)^2\ \textgreater \ 0; 1\ \textgreater \ 0$
$(x+4)^2+(y-5)^2+1 \ \textgreater \ 0$