Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая,пересекающая...

Question

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая,пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АВК к площади четырехугольника КРСМ....ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ У МЕНЯ ЭКЗАМЕН

Answer 1

Находим отношение ВР/СР;

Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е. 

Итак, ВЕ II AC; 

Треугольники ЕВК и АКМ подобны по равенству углов , поэтому ЕВ/АМ = ВК/КМ; в даном случае ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ; то есть эти треугольники равны

Отсюда ЕВ = АС/2; (ВМ - медиана)

Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку, поэтому ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2

Итак, СР = ВС*2/3; и,  площадь треугольника АСР

Sacp = S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).

Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ, то 

Sakm = S/4;

Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна

Skpcm = Sacp - Sakm = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12;

Ответ 12/5