Найти интервалы впуклости и выпуклости графика функции и его точки перегиба.

Дана функция $x^{2} ln(x).$
Найдём её производную.
Решение. f′(x)=(x²⋅ln(x))′=(x²)′⋅ln(x)+x²⋅(ln(x))′=2⋅x⋅ln(x)+x²/x.
Ответ:f′(x)=2⋅x⋅ln(x)+x.

Теперь находим вторую производную от заданной функции или производную от производной функции f(x)=2⋅x⋅ln(x)+x
Решение.f′(x)=(2⋅x⋅ln(x)+x)′=(2⋅x⋅ln(x))′+1=(2⋅x)′⋅ln(x)+2⋅x⋅(ln(x))′+1=2x⋅ln(x)+(2⋅x/x)+1
Ответ: f′(x)=2⋅ln(x)+3.

Точку перегиба а также интервалы вогнутости и выпуклости графика функции определяем, приравняв вторую производную нулю.
2⋅ln(x)+3 = 0,
ln(x) = -3/2.
Такое уравнение равносильно $x=e^{- \frac{3}{2} }$ или
$x= \frac{1}{e^{ \frac{3}{2} }} .$
Можно найти приближённое значение переменной в точке перегиба:
х = 0,2231302.