3sin2x+cos2x=2 sin5х+cos 5х= Помогите,пожалуйста!!! - Все ответы

Дан 1 ответ

Дано уравнение: $sin5x+cos5x=\sqrt{2}*cos13x$ -----(1)

Будем решать уравнение методом вспомогательного угла.

Преобразуем левую часть уравнения (1):

$sin5x+cos5x=1*sin5x+1*cos5x=\sqrt{2}*(\frac{1}{\sqrt{2}}*sin5x+\frac{1}{\sqrt{2}}*cos5x)$ , отсюда

$sin5x+cos5x=\sqrt{2}*[sin(\frac{\pi}{4})*sin5x+cos(\frac{\pi}{4})*cos5x]$ ,

где в квадратных скобках стоит выражение, представляющее собой косинус разности углов $5x$ и $\frac{\pi}{4}$ . Но так как косинус функция четная мы получаем два возможных случая:

а) $sin5x+cos5x=\sqrt{2}*cos(5x-\frac{\pi}{4})$ -------(2)

б) $sin5x+cos5x=\sqrt{2}*cos(\frac{\pi}{4}-5x)$ --------(3)

Решаем каждый случай в отдельности.

а) Левые части равенств (1) и (2) равны, значит равны их правые части:

$\sqrt{2}*cos13x=\sqrt{2}*cos(\frac{\pi}{4}-5x)$ , или сокращая на $\sqrt{2}$

$cos13x=cos(\frac{\pi}{4}-5x)$

Отсюда по свойству косинуса имеем:

$13x+\frac{\pi}{4}-5x=2\pi*k$ , или

$x=\frac{\pi*k}{4}-\frac{\pi}{32}$ , где $k$ - целое число

б) Левые части равенств (1) и (3) равны, значит равны их правые части:

$\sqrt{2}*cos13x=\sqrt{2}*cos(5x-\frac{\pi}{4})$ , или сокращая на $\sqrt{2}$

$cos13x=cos(5x-\frac{\pi}{4})$

Отсюда по свойству косинуса имеем:

$13x+5x-\frac{\pi}{4}=2\pi*l$ , или

$x=\frac{\pi}{72}+\frac{\pi*l}{9}$ , где $l$ - целое число

Ответ: $x=\frac{\pi*k}{4}-\frac{\pi}{32}$ ; $x=\frac{\pi}{72}+\frac{\pi*l}{9}$

Geometr_zn (378 баллов) 30 Янв, 18