Очень срочно и сложно

$444...(200)...4 - 444...(100)...4 = 444...(100)...444000...(100)...0$

Сначала 100 четверок, потом 100 нулей. Преобразуем

$444...(100)...444000...(100)...0 = 444...(100)..444\cdot10^{100} = \\ 111...(100)...111\cdot4\cdot10^{100}$

Значит наш корень

$\sqrt{444...(200)...4 - 444...(100)...4} = 2\cdot10^{50}\sqrt{111...(100)..111}$

Вычислим его приближенно, отметим, что бесконечная дробь
0.1111111111111... = 1/9 и преобразуем

$111...(100)...111 = 0.11111..(99)..11\cdot10^{100}\approx \frac{1}{9}\cdot10^{100}\\\\ \sqrt{111...(100)...111} \approx\frac{1}{3}10^{50}$

Окончательный ответ с очень хорошей точностью
$\sqrt{...} \approx \frac{2}{3}10^{100}$