В правильной треугольной пирамиде SABC длина апоферы равна , а отношение бокового ребра к...

Пусть ребро и высота равны соответственно x и y, по условию
$\frac{x}{y}= \frac{\sqrt{10}}{3}$
пусть z - сторона основания тогда радиус вписанной окружности будет равен
$r= \frac{\sqrt{3}z}{6}$
а апофему выразим через высоту и радиус
$y^2+ (\frac{\sqrt{3}z}{6})^2= \frac{37}{36}$

а центр вписанной окружности, совпадает с центром описанной окружности
r=2R , только в равностороннем треугольнике
отудого
$\sqrt{x^2-y^2}= \frac{\sqrt{3}z}{3}$

решаем систему их трех неизвестных
получаем
$z= \frac{ \sqrt{3} }{3} \\ y=1\\ x= \frac{\sqrt{10}}{3} \\ V=\frac{SH}{3}\\ S=\frac{\sqrt{3}}{12}\\ V=\frac{\frac{\sqrt{3}}{12}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{36}$