Два игрока, Паша и Валя, играют в следующую игру. Перед игроками лежит
куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один
ход игрок может добавить в кучу два камня или увеличить количество
камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход
можно получить кучу из 17 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать
ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не
менее 36. Если при этом в куче оказалось не более 85 камней, то победителем
считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем
становится его противник. Например, если в куче было 30 камней и Паша
утроит количество камней в куче, то игра закончится и победителем будет
Валя. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 35.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он
может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию
игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой
ситуации, которая ему может встретиться при различной игре
противника.
Выполните следующие задания.
1. а) При каких значениях числа S Паша может выиграть в один ход?
Укажите все такие значения и соответствующие ходы Паши.
б) У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 28, 30, 32?
Опишите выигрышные стратегии для этих случаев.
2. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 10, 8?
Опишите соответствующие выигрышные стратегии.
3. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 6? Постройте
дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде
рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах
– количество камней в позиции