Решите уравнение:

Question 1

Решите уравнение:
$25^{ log_5^{2}x } - 3 x^{log_5x} = 10$

Question 2

$25^{ \log_5^2x } - 3 x^{\log_5x} = 10$

ОДЗ: х>0

Преобразуем уменьшаемое:
$25^{ \log_5^2x }=(5^2)^{ \log_5^2x }=(5^2)^{ \log_5x\log_5x }= 5^{ 2\log_5x\log_5x }= \\\ =(5^{\log_5x})^{ 2\log_5x }=x^{ 2\log_5x }=(x^{ \log_5x })^2$

Выполним замену: 0" alt="x^{ \log_5x }=y>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Получаем уравнение:
$y^2-3y=10 \\\ y^2-3y-10=0 \\\ (y-5)(y+2)=0 \\\ y_1=5 \\\ y_2=-2$

Второй корень не подходит, так как обозначенное за у выражение может быть только положительным.

Возвращаемся к исходной переменной:
$x^{ \log_5x }=5 \\\ \log_5x^{ \log_5x }=\log_55 \\\ \log_5x\log_5x}=1 \\\ \log^2_5x=1 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \log_5x=1\Rightarrow x_1=5^1=5\\ \log_5x=-1\Rightarrow x_2=5^{-1}= \frac{1}{5} \end{array}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 5; 1/5.

Artem112_zn · Answer 1 · 2018-05-08T21:08:51+0000

$25^{ \log_5^2x } - 3 x^{\log_5x} = 10$

ОДЗ: х>0

Преобразуем уменьшаемое:
$25^{ \log_5^2x }=(5^2)^{ \log_5^2x }=(5^2)^{ \log_5x\log_5x }= 5^{ 2\log_5x\log_5x }= \\\ =(5^{\log_5x})^{ 2\log_5x }=x^{ 2\log_5x }=(x^{ \log_5x })^2$

Выполним замену: 0" alt="x^{ \log_5x }=y>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Получаем уравнение:
$y^2-3y=10 \\\ y^2-3y-10=0 \\\ (y-5)(y+2)=0 \\\ y_1=5 \\\ y_2=-2$

Второй корень не подходит, так как обозначенное за у выражение может быть только положительным.

Возвращаемся к исходной переменной:
$x^{ \log_5x }=5 \\\ \log_5x^{ \log_5x }=\log_55 \\\ \log_5x\log_5x}=1 \\\ \log^2_5x=1 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \log_5x=1\Rightarrow x_1=5^1=5\\ \log_5x=-1\Rightarrow x_2=5^{-1}= \frac{1}{5} \end{array}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 5; 1/5.