Упростить Sinx/(tg(п/4-x/2)*(1+sinx))

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Надо сначала упростить тангенс в знаменателе по известной формуле тангенса разности
$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

$\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\tan\frac{\pi}{4}-\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{\pi}{4}\tan\frac{x}{2}}=\frac{1-\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{x}{2}}=$

Воспользуемся известной формулой

$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$

и снова преобразуем предыдущее выражение

$\frac{1-\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{x}{2}}=\frac{1-\frac{1-\cos x}{\sin x}}{1+\frac{1-\cos x}{\sin x}}=$

Умножим и числитель и знаменатель выражения на sin x.

$\frac{1-\frac{1-\cos x}{\sin x}}{1+\frac{1-\cos x}{\sin x}}=\frac{\sin x-1+\cos x}{\sin x+1-\cos x}\quad(*)$

Теперь запишем исходное выражение с учетом наработанного, причем перенесем знаменатель в (*) в числитель выражения

$\frac{\sin x}{\frac{\sin x-1+\cos x}{\sin x+1-\cos x}*(1+\sin x)}=\frac{\sin x*(\sin x+1-\cos x)}{(\sin x-1+\cos x)*(1+\sin x)}=\quad(***)$

Теперь отдельно займемся знаменателем этой дроби. Раскроем скобки.

$(\sin x-1+\cos x)*(1+\sin x)=$

$\sin x -1+\cos x+\sin^2 x-\sin x+\sin x\cos x=$

Теперь можно сократить на sin x, так как эти слагаемые противоположны по знаку

$=\sin x -1+\cos x+\sin^2 x-\sin x+\sin x\cos x=$

$=-1+\cos x+\sin^2 x+\sin x\cos x\quad(**)$

Заметим, что

$-1+\sin^2 x=-(\cos^2 x+\sin^2 x)+\sin^2 x=-\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=$

$=-\cos^2 x$

Учитывая это, (**) снова упрощается в

$-1+\cos x+\sin^2 x+\sin x\cos x=-\cos^2 x+\cos x+\sin x\cos x=$

Теперь вынесем за скобки cos x

$-\cos^2 x+\cos x+\sin x\cos x=\cos x(-\cos x+1+\sin x)$

Это и есть упрощенный знаменатель. Теперь подставим в исходную дробь (***)

$\frac{\sin x*(\sin x+1-\cos x)}{(\sin x+1-\cos x)*(1+\sin x)}=\frac{\sin x*(\sin x+1-\cos x)}{\cos x(-\cos x+1+\sin x)}=$

Теперь числитель и знаменатель сокращаем на множитель
$(\sin x+1-\cos x)$ , получаем

$=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$

Ответ:
$\tan x$

bearcab_zn (114k баллов) 12 Март, 18