Мистер Фокс шифрует числа: вместо каждой четной цифры он пишет ее половину, а вместо...

Question

Мистер Фокс шифрует числа: вместо каждой четной цифры он пишет ее половину, а вместо каждой нечетной — число (возможно, двузначное), полученное умножением этой цифры на два. Например, число 147 превращается в число 2214. Какое наибольшее количество различных чисел может быть в последовательности, в которой каждое следующее число (начиная со второго) есть результат шифровки предыдующего?

Answer 1

В исходном числе, каким-бы оно ни было, можно выделить "островки", размером с 1 цифру. Эти островки будут преобразовываться при шифровке независимо, поэтому мы рассмотрим процессы, происходящие с каждой цифрой при шифровке

0 - 0 - 0 - 0... (цикл 1)
1 - 2 - 1 - 2... (цикл 2)
2 - 1 - 2 - 1... (цикл 2)
3 - 6 - 3 - 6... (цикл 2)
4 - 2 - 1 - 2... (1 уникальный, цикл 2)
5 - 10 - 20 - 10... (1 уникальный, цикл 2)
6 - 3 - 6 - 3... (цикл 2)
7 - 14 - 22 - 11 - 22... (2 уникальных, цикл 2)
8 - 4 - 2 - 1 - 2... (2 уникальных, цикл 2)
9 - 18 - 24 - 12 - 21 - 12... (3 уникальных, цикл 2)

Итак мы видим, что в общем случае (если исходное число содержит 9) максимум первые три числа могут быть уникальными, а потом в последовательности будут повторяться два каких-то числа, так как последовательное преобразование всех цифр заканчивается последовательностью из двух чередующихся фрагментов.

Так что всего может быть не более 5 различных чисел. Пример с 5 различными - это просто результат преобразования числа 9