В треугольнике АВС проведена высота АН, О-центр описанной окружности. Докажите, что угол...

Question

В треугольнике АВС проведена высота АН, О-центр описанной окружности. Докажите, что угол ОАН=Iугол В-угол СI.
Подсказка: Построить точку A', симметричную точке А относительно серединного перпендикуляра к отрезку ВС.

Answer 1

Этого построения самого по себе маловато, если продлить АН до пересечения с описанной окружностью в точке Е, и построить еще точку Е' аналогично точке А', то есть построить вписанный прямоугольник АЕЕ'А', то угол ОАН - это угол Е'АЕ, равный углу АЕ'A', который опирается на дугу АА', равную разности дуг CА' и CA (в предположении, что угол С больше угла В, что не существенно). 
Поскольку дуга СА' очевидно равна дуге ВА (точнее, сразу видно, что равны заключенные между параллельными хордами АА' и ВС дуги ВА' и АС, а отсюда уже следует равенство дуг СА' и ВА), то вписанный угол АЕ'A' равен разности углов С и В, опирающихся на соответствующие дуги. 
Всё доказано.

Comments

можете рисунок скинуть?

---

Читайте мой профиль. Я делаю рисунки только тогда, когда это действительно нужно. В этом случае сделать чертеж на основании текста проще простого. Если это не устраивает - я обычно прошу модераторов просто удалить мое решение. Кстати, решение может быть еще более упрощено. Дуги BE' и CE равны, и угол САЕ равен 90° - С; а угол ВАЕ = 90° - В; откуда угол E'AE = С - В; а это как раз угол ОАН;

---

AE - это высота АН, продленная до пересечения с описанной окружностью в точке Е, а Е' выбрана так, что хорда EE' II BC. При этом АЕ' проходит через точку О, потому что угол E'EA прямой (то есть Е'A - диаметр). Именно поэтому угол E'AE и есть угол ОАН.

---

спасибо)