Lim(1/x)^tgx, x стремится к 0

Question 1

Question 2

$\lim_{x \to 0}\ ( \frac{1}{x} )^{tgx}=\{ \infty^0\}$

Пусть

$y=( \frac{1}{x} )^{tgx}$

Прологарифмируем
$lny=ln( \frac{1}{x} )^{tgx} \\ \\ lny=tgx \ ln \frac{1}{x} = tgx(ln1-lnx)=-tgx*lnx$

теперь найдем предел от ln(y)

$\lim_{x \to 0} lny= \lim_{x \to 0} (-tgx*lnx)= \lim_{x \to 0} (-\frac{lnx}{ \frac{1}{tgx} }) =-\lim_{x \to 0} (\frac{lnx}{ \frac{1}{tgx} }) = \\ =\{ \frac{\infty}{\infty} \}$

После того как перешли к неопределенности вида {∞/∞}
Можно воспользоваться правилом Лопиталя, то есть взять производную от числителя и отдельно взять производную от знаменателя до тех пор пока не уйдет неопределенность

$-\lim_{x \to 0} \frac{(lnx)'}{ (\frac{1}{tgx})' }=-\lim_{x \to 0} \frac{ \frac{ 1 }{x} }{ \frac{- \frac{1}{cos^2x} }{tg^2x} }= -\lim_{x \to } \frac{ \frac{1}{x} }{- \frac{1}{sin^2x} } = \\ \\ = -\lim_{x \to 0} -\frac{sin^2x}{x} =\lim_{x \to 0} \frac{(sin^2x)'}{x'}=\lim_{x \to 0} \frac{2sinx*cosx}{1}=2sin0*cos0 \\ \\ =0*1=0 \\$

Если lny=0, то y=e⁰=1
$\lim_{x \to 0} y= \lim_{x \to 0} ( \frac{1}{x} )^{tgx}=1 \\ \\ OTBET: \ 1$

Alexandr130398_zn · Answer 1 · 2018-05-09T05:23:42+0000

$\lim_{x \to 0}\ ( \frac{1}{x} )^{tgx}=\{ \infty^0\}$

Пусть

$y=( \frac{1}{x} )^{tgx}$

Прологарифмируем
$lny=ln( \frac{1}{x} )^{tgx} \\ \\ lny=tgx \ ln \frac{1}{x} = tgx(ln1-lnx)=-tgx*lnx$

теперь найдем предел от ln(y)

$\lim_{x \to 0} lny= \lim_{x \to 0} (-tgx*lnx)= \lim_{x \to 0} (-\frac{lnx}{ \frac{1}{tgx} }) =-\lim_{x \to 0} (\frac{lnx}{ \frac{1}{tgx} }) = \\ =\{ \frac{\infty}{\infty} \}$

После того как перешли к неопределенности вида {∞/∞}
Можно воспользоваться правилом Лопиталя, то есть взять производную от числителя и отдельно взять производную от знаменателя до тех пор пока не уйдет неопределенность

$-\lim_{x \to 0} \frac{(lnx)'}{ (\frac{1}{tgx})' }=-\lim_{x \to 0} \frac{ \frac{ 1 }{x} }{ \frac{- \frac{1}{cos^2x} }{tg^2x} }= -\lim_{x \to } \frac{ \frac{1}{x} }{- \frac{1}{sin^2x} } = \\ \\ = -\lim_{x \to 0} -\frac{sin^2x}{x} =\lim_{x \to 0} \frac{(sin^2x)'}{x'}=\lim_{x \to 0} \frac{2sinx*cosx}{1}=2sin0*cos0 \\ \\ =0*1=0 \\$

Если lny=0, то y=e⁰=1
$\lim_{x \to 0} y= \lim_{x \to 0} ( \frac{1}{x} )^{tgx}=1 \\ \\ OTBET: \ 1$