Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит его сторону AB ** отрезки AD и DB с...

Question

Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит его сторону AB на отрезки AD и DB с длинами 5 см и 3 см соответственно. Величина, угла A равна 60 гр.. Найдите длину стороны BC.

Answer 1

Проведем OD, OK и OE - перпендикуляры к сторонам треугольника. Они являются  радиусами окружности. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, ВК = BD = 3, AD = AE = 5, CK = CE = x.
AO - биссектриса ∠А ⇒∠ОАЕ = 30°.
Из ΔОАЕ: r = OE = AE*tg30° = 5/√3
p = x + 8 - полупериметр
Запишем площадь треугольника двумя способами:
S = pr = 1/2 AB*AC*sin∠A
(x + 8)*5/√3 = 1/2*8*(x + 5)*√3/2
5(x + 8) = 6(x + 5)
5x + 40 = 6x + 30
x = 10 ⇒  BC = 3+10 = 13