Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

Характеристическое уравнение однородного ДУ
$\lambda^2+4\lambda=0 \\ \lambda\in\lbrace0;-4\rbrace$
откуда общее решение однородного ДУ
$y=c_1+c_2e^{-4x}$

Ищем частное решение неоднородного ДУ в виде
$y=\alpha xe^{-4x}\\y'=-4\alpha xe^{-4x}+\alpha e^{-4x} \\ y''=16\alpha xe^{-4x}-8\alpha e^{-4x}$

$y''+4y'=16\alpha xe^{-4x}-8\alpha e^{-4x}-16\alpha xe^{-4x}+4\alpha e^{-4x}=-4\alpha e^{-4x}$
$-4\alpha e^{-4x}=e^{-4x}\\ \alpha=-\frac14$
Частное решение неоднородного уравнения
$y=-\frac14x e^{-4x}$

Общее решение неоднородного ДУ = общее решение однородного + частное решение неоднородного
$y=c_1+c_2e^{-4x}-\frac14xe^{-4x}\\ y(0)=c_1+c_2=0\\ y'(0)=-4c_2-\frac14=0\\ c_2=-\frac1{16};\quad c_1=\frac1{16}\\ \boxed{y=\frac1{16}-\frac1{16}e^{-4x}-\frac14xe^{-4x}}$