Найти интеграл от заданной рациональной дроби :
∫ (x³ +6x² +14x +10) / (x+1)(x+2)³ dx
-----------
используем метод неопределенных коэффициентов :
(x³ +6x² +14x +10) / (x+1)(x+2)³ = A/(x+1) +B/(x+2) +C/ (x+2)² + D/(x+2)³ ;
x³ +6x² +14x +10 ≡ A(x+2)³ +B (x+1)(x+2)² +C(x+1) (x+2) + D(x+1) ;
если :
x= -1 ⇒ 1 =A ;
x= -2 ⇒ -2= -D ⇔ D =2 ;
x= 0 ⇒10 = 8A +4B +2C +D⇔10 =8*1 +4B +2C +2⇒ C = -2B
x =1 ⇒ 31 =27A +18B +6C +2D ⇔31 =27*1 +18B +6C +4 ⇒C = -3B
-2B = -3B ⇒ B =0 и C = 0 .
Получили A =1 ; B =C=0 ; D =2 , поэтому
∫ (x³ +6x² +14x +10) / (x+1)(x+2)³ dx = ∫ (1/(x+1) + 2/(x+2)³ ) dx =
= ∫ 1/(x+1) dx + ∫ 2/(x+2)³ ) dx = ∫ 1/(x+1) d(x+1) +∫2 *(x+2)⁻³ dx =
Ln(x+1) +2 * (x+2)⁻² / (-3+1) +C = Ln(x+1) - 1 /(x+2)² +C .
* * * * * * * можно было и так * * * * * * *
x³ +6x² +14x +10 ≡ A(x+2)³ +B (x+1)(x+2)² +C(x+1) (x+2) + D(x+1) ;
x³ +6x² +14x +10 ≡(A+B)x³ + (6A+5B +C)x² +(12A +5B +3C+D) x +8A+4B +2C+D.
A+B =1 ;
6A + 5B +C = 6 ;
12A+8B +3C+D =14 ;
8A+ 4B +2C+D =10 .