Дан треугольник ABC. Точка K лежит ** стороне AB, точка D- ** стороне AC. Отрезки BD и CK...

Question

Дан треугольник ABC. Точка K лежит на стороне AB, точка D- на стороне AC. Отрезки BD и CK пересекаются в точке O. Площади треугольников COD, COB и BOK соответственно равны 2, 10 и 5. Найти площадь четырёхугольника ADOK.

Answer 1

ΔBOK и ΔBOC имеют общую высоту (из вершины В) ⇒
Sbok / Sboc = OK / OC = 5 /10 = 1/ 2
ΔCOB и ΔCOD имеют общую высоту (из вершины C) ⇒
Scob / Scod = BO / OD = 10/2 = 5/1
Из вершины С проведем прямую, параллельную АВ, до пересечения с BD в точке Е.
ΔEOC подобен ΔBOK  по двум углам (∠EOC=∠BOK вертикальные, ∠ОСЕ = ∠ОКВ соответственные) ⇒
EO / OB = OC / OK 
EO / (5y) = 2x / x  ⇒EO = 10y,   ED = EO - DO = 9y
ΔEDC подобен ΔBDA  по двум углам (∠EDC=∠BDA вертикальные, ∠DСЕ = ∠DAB соответственные) ⇒
DC / AD = ED / DB, DC / AD = 9y / (6y),   DC / AD =3/2
ΔBDC и ΔBDA имеют общую высоту (из вершины В) ⇒
Sbdc / Sbda = DC / DA = 3/2
12 / Sbda = 3/2, Sbda = 8
Sakod = Sbda - Sbok = 8 - 5 = 3