Решить показательное уравнение

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Разделим обе части на $15^{x+2}$ :

$\displaystyle \left( \frac{8}{15} \right)^{x+2}+1=\left( \frac{17}{15} \right)^{x+2}$

Так как: $\displaystyle \left( \frac{8}{15} \right)\ \textless \ 1$ то функция $\displaystyle \left( \frac{8}{15} \right)^{x+2}$ убывает.

Так как: $\displaystyle \left( \frac{17}{15} \right)\ \textgreater \ 1$ то функция $\displaystyle \left( \frac{17}{15} \right)^{x+2}$ возрастает.

Значит графики данных функций пересекаются не более чем в одной точке. Это означает, что у уравнения есть единственное решение.

Попробуем ограничить значения x на целых числах.
То есть:
$x\in \mathbb Z$

Теорема Ферма (доказана в 1995) :

Для любого целого числа $n$ ,так что:
$n\ \textgreater \ 2$ либо $n\ \textless \ -2$

Уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет решений в целых ненулевых числах $a,b,c$ .

Так как $x\in \mathbb Z$ то решение у данного уравнения может находиться в промежутке:

$-2 \leq x+2 \leq 2\\\\-4 \leq x \leq 0$

Проверяя весь промежуток, мы находим что:
$x=0 \Rightarrow 8^2+15^2=17^2 \Rightarrow 289=289$

Newtion_zn (46.3k баллов) 09 Май, 18

Denik777_zn · Answer 1 · 2018-05-09T06:43:10+0000

Разделим обе части на $15^{x+2}$ :
$(8/15)^{x+2}+1=(17/15)^{x+2}$
Т.к. 8/15<1, то функция <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%288%2F15%29%5E%7Bx%2B2%7D%2B1" id="TexFormula4" title="(8/15)^{x+2}+1" alt="(8/15)^{x+2}+1" align="absmiddle" class="latex-formula"> убывает на всей действительной оси.
Т.к. 17/15>1, то функция $(17/15)^{x+2}$ возрастает на всей действительной оси.
Значит графики этих функций пересекаются не более чем в одной точке,
т.е. уравнение может иметь не более одного корня.
Легко угадывается корень х=0: 8²+15²=17². Итак ответ: х=0.