Решить интеграл (Интегральное исчисление функции одной переменной)

Решите задачу:

$\int \frac{x\cdot cosx}{sin^2x}dx=[\; u=x\; ,\; du=dx\; ,dv=\frac{cosx}{sin^2x}dx\; ,\; v=-\frac{1}{sinx}\; ]=\\\\=[\; \int u\cdot dv=uv-\int v\cdot du\; ]=\\\\=-\frac{x}{sinx}+\int \frac{dx}{sinx} =- \frac{x}{sinx} +\int \frac{sinx}{sin^2x} dx=- \frac{x}{sinx} +\int \frac{sinx\, dx}{1-cos^2x}=\\\\=- \frac{x}{sinx} -\int \frac{-d(cosx)}{cos^2x-1} =-\frac{x}{sinx}+\frac{1}{2}\cdot ln\left |\frac{cosx-1}{cosx+1}\right |+C=\\\\=-\frac{x}{sinx}+ln\sqrt{\left |\frac{cosx-1}{cosx+1}\right |}+C=-\frac{x}{sinx}+ln|tg\frac{x}{2}|+C$

$P.S.\quad \int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}\cdot ln\left |\frac{t-1}{t+1}\right |+C\; ,\; \; t=cosx$