1. "В течениЕ десяти лет сестра...." - частая ошибка, на этом любят ловить
2. "...как насчёт того ..." слитно в данном случае.
Пример: спросил насчёт обеда или положил деньги на счёт в банке.
3. "Сестра подошла к родителям в надежде с этой мыслью ...." - тут не нужна запятая.
4. "... Сбылась её мечта только потому, что... "- перед что запятая.
5. Интересно ещё со словом "наверняка". Вы можете итерпретировать его как вводной слово, подчеркнув тот факт, что родители знают и без неё, что она хочет собаку. Или как наречие. Лучше не выделяйте запятыми, конечно. Оставьте наречием.