Как найти косинус 117 ?

Question 1

Question 2

Значение не табличное, но мы можем найти приближенное значение с помощью дифференциалов

$\cos 117^\circ = \cos(120^\circ-3^\circ) = \cos(2\pi/3 - \pi/60) = \\\\ \cos(2\pi/3) - \frac{\pi}{60}(\cos'(2\pi/3)) = -1/2+\frac{\pi}{60} \sin(2\pi/3) = \\\\ -1/2+\frac{\pi\sqrt{3}}{120} \approx -0.454$

Однако если требуется посчитать точно, это тоже можно

Заметим, что
$\cos(117^\circ) = \cos(45^\circ+72^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos72^\circ - \sin 72^\circ)$

Хитрость в том, что найти косинус и синус 72 возможно. Делается это так

$\cos 72^\circ = \cos(2\pi/5) = 2\cos^2(\pi/5)-1\\ \cos(2\pi/5) = -\cos(3\pi/5) = 3\cos(\pi/5) - 4\cos^3(\pi/5)\\ 2\cos^2(\pi/5)-1 = 3\cos(\pi/5) - 4\cos^3(\pi/5)\\\\ \cos (\pi/5) \equiv t,\quad 0\ \textless \ t\ \textless \ 1\\\\ 4t^3+2t^2-3t-1 = 0\\ (4t^2-2t-1)t + 4t^2-2t-1 = 0\\ (4t^2-2t-1)(t+1) = 0\\ 4t^2-2t-1 = 0\\ t = \frac{1+\sqrt{5}}{4}\\\\ \cos 72^\circ = 2t^2-1 = \frac{6+2\sqrt{5}}{8}-1 = \frac{\sqrt{5}-1}{4}\\ \sin 72^\circ = \sqrt{1-\frac{6-2\sqrt{5}}{16}} = \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}$

$\cos(117^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}\right)\approx - 0.454$

Question 3

cos(117°)=cos(72°+45°), а cos(72°)=(-1+√5)/4, поэтому тут всё можно посчитать точно.

Question 4

Ой-вэй) я готов исправить