1. PA - перпендекуляр к плоскости треугольника ABC. ** стороне BC выбрана точка D, причем...

Question

1. PA - перпендекуляр к плоскости треугольника ABC. На стороне BC выбрана точка D, причем PD перпендекулярна BC. Докажите, что AD - высота треугольника ABC.

2. Основание AC равнобедренного треугольника ABC лежит в плоскости α. Из вершины B к плоскости α проведен перпендекуляр BO. На стороне AC выбрана точка P так, что OP перпендекулярна AC. Найдите длину BP, если |AB| - |BC| = 26 см, |AC| = 48 см.

Answer 1

1.
---
PA ⊥ (ABC) ;
D ∈ [BC] ;
PD  ⊥ BC .
------
Док-ать   AD  ⊥ BC  ( AD - высота треугольника ABC) ?
 
Непосредственно  следует из теоремы трех перпендикуляров :
AD  проекция наклонной  PD  на плоскости  треугольника ABC   и 
BC ⊥ PD  ⇒  BC  ⊥   AD .
2.
---
AC ∈ α  ( сторона (здесь основание)  AC  треугольника ABC лежит в плоскости α  ;
|AB| =  |BC| = 26 см   ( а не AB| =  |BC| = 26 см )   ;
|AC| = 48 см  ;
BO  ⊥ α ,  O ∈ α  ;
OP   ⊥  AC  .
------
BP - ? 

OP проекция  наклонной на плоскости  α  .
OP   ⊥  AC ⇒  BP  ⊥ AC (по обратной теореме трех перпендикуляров)
*  BP высота  равнобедренного треугольника ABC провед. к основ . AC*
Но треугольник ABC  равнобедренный, поэтому  BP еще и медиана
т.е.   AP =CP =AC/2 =48/2 =24 (см) .
Из   Δ ABP по теореме Пифагора :
BP =√ (AB² - AP² ) = √ (26² - 24² ) =√ (26 - 24 )(26 + 24) =√ (2*50 )=10 (см) .

 ответ : 10 см .