При каких значениях параметра "p" уравнение x^2+(2p-1)x+p^2-1=0 имеет хотя бы один...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Данное уравнение является квадратным.
1) Рассмотрим случай, когда свободный член равен нулю.
$p^2-1=0$
$p=\pm 1$
При р=-1 $x^2-3x=0$ не имеет отрицательных корней.
При р=1 $x^2+x=0$ имеет один отрицательный корень (х=-1)
2) Рассмотрим случай, когда второй коэффициент при х равен нулю, а свободный член не равен нулю, т.е. при $p= \frac{1}{2}$ :
$x^2+( \frac{1}{2} )^2-1=0\\ x^2= \frac{3}{4}$
Это уравнение имеет корни разных знаков.
3) Рассмотрим случай, когда уравнение является полным.
Условие существования по крайней мере одного корня - это $D \geq 0$
$D=(2p-1)^2-4(p^2-1)=4p^2-4p+1-4p^2+4=5-4p$
а) Если у уравнения возможен единственный отрицательный корень, то
$p= \frac{5}{4}$ , тогда $x=- \frac{3}{4}$ - отрицательный.
Если существует два корня, то
$x_{1,2}=\dfrac{(1-2p) \pm \sqrt{5-4p}}{2},\ p < \frac{5}{4}$
В таком случае оба корня могут оказаться отрицательными, но потребуем, чтобы отрицательным оказался меньший из этих корней:
\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ \sqrt{5-4p}>1-2p \end{cases} " alt="\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ \dfrac{(1-2p)- \sqrt{5-4p}}{2}<0 \end{cases} <=> \begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ \sqrt{5-4p}>1-2p \end{cases} " align="absmiddle" class="latex-formula">
Последняя система неравенств равносильна совокупности условий:
1-4p+4p^2 \end{cases} " alt="\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ p \leq \frac{1}{2} \\ 5-4p>1-4p+4p^2 \end{cases} " align="absmiddle" class="latex-formula"> или \frac{1}{2} \end{cases} " alt="\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ p > \frac{1}{2} \end{cases} " align="absmiddle" class="latex-formula">
$\begin{cases} p \leq \frac{1}{2} \\ 4p^2<4 \end{cases}$ или $\frac{1}{2}<p<\frac{5}{4}$
$\begin{cases} p \leq \frac{1}{2} \\ -1<p<1 \end{cases}$
$p \in (-1;\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{5}{4})$
Итак, $p \in (-1; \frac{5}{4})$

artalex74_zn (25.2k баллов) 12 Март, 18