1.
ABCD - параллелограмм ;
P = 2(AB +BC ) =52 ;
BD ⊥ AC ;
BD =10 .
----------------------------
AC - ?
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны ⇒ ABCD
ромб (Действительно , пусть O точка пересечения диагоналей BD и AC ; в точке пересечения диагонали делятся пополам AO = CO и
BO =DO ||=5 || , т.е. в треугольнике ABD AO и медиана ,и высота , значит A B = A D = P / 4 = 52/4 =13. Из ΔAOD ( или ΔAOB) по теореме
Пифагора AO =√ (A B² - BO²) =√ (13² - 5²) =12⇒ AC = 2 AO =2*12 =24.
ответ : 24.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2.
M произвольная точка внутри Δ ABC
----------------------------
MA +MB +MC > ( AC+ AB +BC) /2 →?
Пусть ABC любой треугольник , а M произвольная точка внутри него
MA + MC > AC ;
MA + MB > AB ;
MB + MC > BC .
Сложим эти три неравенства и получаем
2(MA +MB +MC) > AC+ AB +BC
2(MA +MB +MC) > P ⇒ MA +MB +MC > P / 2 , что и требовалось доказать.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * *
! Гораздо интереснее доказать , что MA +MB +MC < P .
таким образом получить P/2 < MA + MB + MC < P.</strong>
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
3.
ABCD - трапеция : AD | | BC и AD > BC ;
AO = DO =R =2 ;
AB = BC .
----------------------------
S = S (ABCD ) - ?
--------------------------------
Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Действительно ∠ABC + ∠BAD =180° и ∠ABC + ∠CDA =180 ° ⇒ ∠BAD=∠CDA или по другому ◡ AB = ◡ CD (как дуги между параллельными хордами AD и BC ), значит и AB = CD ⇒ ∠BAD = ∠CDA .
Если центр лежит на одной из ее сторон трапеции, то эта сторона большое основание (OA =OD =R) . AВ _ диаметр.
По условию задачи AB = BC ⇒ ◡ AB = ◡BC, но ◡ AB = ◡ CD , ◡AB = ◡BC = ◡ CD = 180°/3 =60°. У равнобедренных треугольников AOB , COD , BOC
один угол 60 ° следовательно они равные и равносторонние :
Поэтому S= 3*S(DOC) =3 *(2²√3) /4 =3√3 .
ответ : 3√3 .
* * * * Четырехугольники ABCO и DCBO являются ромбами.