Наступает 2017-й. А какая последняя цифра у числа 2^17 (в семнадцатой степени)?

$2017$ - нечётное число.

Посмотрим на следующие числа:

$2^{1}=2\\\\2^{3}=8\\\\2^{5}=32\\\\2^{7}=128$

Т.е. всегда при нечётной степени, последняя цифра будет равна либо 2 либо 8.

Осталось найти конечную цифру у $2^{2017}$ .

Сделаем так:

Что такое 1? $1=2\cdot 0+1$ - 0 чётное число. $2^1=2$ .
Что такое 3? $3=2\cdot 1+1$ - 1 нечётное число. $2^3=8$
Что такое 5? $5=2\cdot 2+1$ - 2 чётное число. $2^5=32$
Что такое 7? $7=2\cdot 3+1$ - 3 нечётное число. $2^7=128$

Следовательно, если в представлении нечётной степени ( $2n+1$ )- $n$ чётно, то $2^{2n+1}$ будет оканчиваться на 2. Если нечётно, то будет оканчиваться на 8.

$2017=2n+1 \Rightarrow n=2016:2 \Rightarrow n=1008$ - следовательно $2^{2017}$ оканчивается на 2.