4) Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная и диагонали её равны.
Уравнение площади через диагонали такой трапеции:
S = (1/2)d²*sinφ.
Отсюда sinφ = 2S/d² = 2*64/16² = 128/256 = 1/2.
Тогда φ = 30°.
6) Проведём отрезок К1М1 - это средняя линия треугольника MNK.
Треугольник NK1М1 подобен треугольнику MNK, коэффициент подобия равен 1/2, а площади относятся как 1/4.
Поэтому площадь трапеции МК1М1К равна 3/4 площади треугольника MNK: S = (3/4)*9 = 27/4.
Используем формулу площади трапеции: S = (1/2)d1*d2*sinφ.
Отсюда sin φ = 2S/(d1*d2) = (2*(27/4))/(4,5*6) = 1/2.
Тогда φ = 30°.
7) Так как косинус угла MNK меньше нуля, то этот угол больше 90 градусов.
Опустим высоту на продолжение стороны NK в точку Е и найдём её длину по формуле h = 2S/NK = 2*5√3/5 = 2√3.
Синус угла ЕNM равен h/MN = 2√3/4 = √3/2, а угол равен 60 градусов.
Искомый угол MNK как смежный с ЕNM равен 180-60 = 120°.
8) Обозначим ДЕ = х, а СЕ = 21-х.
Неизвестный угол С = 180°-64°-50° = 66°.
Используем теорему синусов:
х/sin 64° = (21-x)/sin 50°.
х*sin 50° = 21*sin 64° - x*sin 64°.
x(sin 50° + sin 64°) = 21*sin 64°.
x = (21*sin 64°)/(sin 50° + sin 64°) = (21*0.898794)/(
0.766044 + 0.898794) =
=
18.87467 /
1.664838 =
11.33724 (это сторона ДЕ).
Сторона СЕ = 21-х = 21-11.33724 = 9.662759.
Сторону СД тоже находим по теореме синусов:
СД = х*(sin 66°/sin 64°) =
9.662759*(0.913545/
0.898794) = 11.523313.
9) Опустим высот hу из точки А на продолжение стороны ВС в точку Д.
h = 2S/BC = 2*3,6/3,4 = 36/17.
Угол АВД = 180°-130° = 50°.
Отрезок ВД = h/tg 50° = (36/17)/1,191754 = 1,776917.
Сторона СД = ВС+ВД = 3,4+1,776917 = 5,176917.
Искомую сторону АС находим по Пифагору:
АС = √(h²+ВД²) = √((36/17)²+5,176917²) = 5,59329.
10) В соответствии с заданием обозначим АВ = 7х, а ВС = 8х.
По теореме косинусов АС² = 49х²+64х²-2*7х*8х*cos120°.
Отсюда 26² = 113x²-2*56x²*(-1/2).
Получаем 169х² = 26² или 13х = 26.
Находим х = 26/13 = 2.
Сторона АВ = 7х = 7*2 = 14, а ВС = 8х = 8*2 = 16.
11) Пусть имеем треугольник АВС. Примем АВ = х, а ВС = 13-х.
По теореме косинусов 7² = х²+(13-х)²-2*х*(13-х)*cos 60°.
Раскроем скобки и приведём подобные.
49 = х²+169-26х+х²-13х+х²,
3х²-39х+120 = 0 сократим на 3:
х²-13х+40 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-13)^2-4*1*40=169-4*40=169-160=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√9-(-13))/(2*1)=(3-(-13))/2=(3+13)/2=16/2=8; x₂=(-√9-(-13))/(2*1)=(-3-(-13))/2=(-3+13)/2=10/2=5.
Это и есть неизвестные стороны АВ и ВС.
12) Пусть имеем параллелограмм АВСД с диагоналями АС и ВД.
Запишем 2 уравнения на основе теоремы косинусов.
АС² = АВ²+ВС²-2АВ*ВС*cos B,
ВД² = АВ²+АД²-2АВ*АД*cos A.
Так как ВС = АД и косинус тупого угла В равен - cos A, то при сложении этих двух уравнений получим:
АС² = АВ²+ВС²,
ВД² = АВ²+ВС² или АС² + ВД² = 2(АВ²+ВС²).
13) Длина стороны АВ (модуль) равна 6*tg 30° = 6*(1/√3) = 2√3.
AC = √(6²+(2√3)²) = √(36+12) = √48 = 4√3.
а) АВ*ВС = 2√3*6*cos 90° = 2√3*6*0 = 0 (они перпендикулярны).б) АС*АД = 4√3*10*cos 30° = 40√3*(√3/2) = 60.
в) ВС*ДА = 6*10*cos 0° = 6*10*1 = 60.
14) Находим координаты векторов:
АВ: ((1-х); 1-3=-2) = ((1-х); -2),
ВС: (-2-1=-3; 4-1=3) = (-3; 3).
Условие перпендикулярности - скалярное произведение равно нулю.
(1-х)*(-3)+(-2)*3 = 0.
3х = 9,
х = 9/3 = 3.