Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме...

Уфф, погнали. Уравнение Шредингера

$\frac{-\hbar^2}{2m}\Psi'' = E\Psi\\\\ \Psi'' +\frac{2mE}{\hbar^2} = 0$

Общее решение
$\Psi(x) = A\cos(kx)+B\sin(kx); \quad k = (2mE/\hbar^2)^{1/2}$

Яма налагает условия
$\Psi(0) = \Psi(l) = 0$

Поэтому в яме будут только такие решения
$\Psi_n(x) = B_n\sin(k_n x); \quad k_n = (2mE_n/\hbar^2)^{1/2}$

Причем для разрешенных энергий и волновых чисел справедливо

$k_n l = \pi n\\ k_n = \frac{\pi n}{l}\\\\ E_n = \frac{\hbar^2k_n^2}{2m} = \frac{h^2}{8ml^2}n^2$

Для состояния n=1 дискретность равна

$\Delta E = E_2-E_1 =\frac{3h^2}{8ml^2} = 1.12\cdot10^{-17} \text{eV}$

Тепловая же энергия электрона равна

$E = \frac{3}{2}kT = 0.04 \text{eV}$