2.10.
Распределение кинетической энергии частиц в газе по Максвеллу:
f(E) = 2√E/√[π(kT)³] exp(–E/[kT]) ;
Найдём экстремум распределения энергии через уравнение df/dE = 0:
df/dE = 1/√[πE(kT)³] exp(–E/[kT]) – 2√E/√[π(kT)^5] exp(–E/[kT]) =
= ( kT – 2E ) exp(–E/[kT])/√[πE(kT)^5] = 0 ;
Ясно, что при Eитак наиболее вероятная E=kT/2 ;
Таким образом, импульс молекул газа,
ЭНЕРГИЯ которых равна наиболее вероятному значению ЭНЕРГИИ – равен:
p = √[2m*mv²/2] = √[2mE] = √[mkT] ;
по всей видимости, составители задания НЕКОРРЕКТНО СФОРМУЛИРОВАЛИ вопрос.
* Наиболее вероятное значение скорости v(вер) = √[2kT/m], а поэтому:
импульс молекул газа, у которых
ИМПУЛЬС равен наиболее вероятному значению ИСПУЛЬСА:
p = mv(вер) = √[2mkT] ;
2.11. Во вложении. Там интеграл, который неприятно писать в строчку.
2.12.
Распределение кинетической энергии частиц в газе по Максвеллу:
f(E) = 2√E/√[π(kT)³] exp(–E/[kT]) ;
Найдём экстремум распределения энергии через уравнение df/dE = 0:
df/dE = 1/√[πE(kT)³] exp(–E/[kT]) – 2√E/√[π(kT)^5] exp(–E/[kT]) =
= ( kT – 2E ) exp(–E/[kT])/√[πE(kT)^5] = 0 ;
Ясно, что при E
2.13.
При увеличении высоты на dh, мы оказываемся на слой dh выше, и вес этого слоя уже не создаёт давления, таким образом, давление падает на величину:
dP = –ρgdh ;
Из уравнения идеального газа: PV = m/μ RT <==> μP/RT = m/V = ρ ;
dP = –μPg/[RT] dh ;
dP/P = –μg/[RT] dh ;
dlnP = –μg/[RT] dh ;
lnP = –μg/[RT] h + C ;
lnPo = C ;
ln[Po/P] = μgh/[RT] ;
h = RT/[μg] ln[Po/P] ≈ 8.314*290/[0.029*9.814] ln[100/90] ≈ 893 м ;
2.14.
Распределение модулей скоростей частиц в газе по Максвеллу:
f(v) = 2v² √[(μ/RT)³/2π] exp(–μv²/[2RT]) ;
Распределение модулей скоростей частиц в газе для температуры 2T по Максвеллу будет выглядеть так:
f(v) = v²/2 √[(μ/RT)³/π] exp(–μv²/[4RT]) ;
Чтобы найти точки пересечения, приравняем эти выражения:
2v² √[(μ/RT)³/2π] exp(–μv²/[2RT]) = v²/2 √[(μ/RT)³/π] exp(–μv²/[4RT]) ;
2√2 exp(–μv²/[2RT]) = exp(–μv²/[4RT]) ;
exp(ln(2√2)) * exp(–μv²/[2RT]) = exp(–μv²/[4RT]) ;
1.5ln2 – μv²/[2RT] = –μv²/[4RT] ;
1.5ln2 = μv²/[4RT] ;
v = √[ 4RT/μ 1.5ln2 ] = √[ 2 v²(вер) 1.5 ln(2√2) ] =
= √[3ln2] v(вер) =
= √[1.5ln2] v(вер2) ,
поскольку v(вер2) = √[2R(2T)/μ] = √2 √[2RT/μ] = √2 v(вер) ;
Кроме того, ясно, что при v=0 – обе функции распределения равны нулю, так что: графики имеют две общие точки.
2.15.
При увеличении высоты на dz, мы оказываемся на слой dz выше, и вес этого слоя уже не создаёт давления, таким образом, давление падает на величину:
dP = –ρg dz ;
Из уравнения идеального газа: PV = m/μ RT <==> μP/RT = m/V = ρ ;
dP = –μPg/[RT] dz ;
dP/P = –μg/[aRTo] d(1+az)/(1+az) ;
dlnP = –μg/[aRTo] dln[1+az] ;
ln[Po/P] = C1 + μg/[aRTo] ln(1+az) ;
ln[Po/P] = ln(C(1+az)^n) , где n = μg/[aRTo] ;
Po/P = C(1+az)^n , где n = μg/[aRTo] ;
Po/Po = C(1+a*0)^n , где n = μg/[aRTo] ;
1 = C ;
P = Po/(1+az)^n , где n = μg/[aRTo] .
Скачать вложение Adobe Acrobat (PDF)