Решите с помощью замены переменной уравнение.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1.

$t=3x^2+2x\\\\t^2+1=0\\\\t^2=-1$

Данное уравнение не имеет вещественных решений. Но имеет комплексные:

$t_{1,2}= \pm i$

Откуда:

$\displaystyle 1) 3x^2+2x=i\\\\3x^2+2x-i=0\\\\x_{1,2}= \frac{-2\pm \sqrt{4+12i} }{6}= \frac{-2\pm 2 \sqrt{1+3i} }{6}= \frac{-1\pm2 \sqrt{1+3i} }{3} \\\\2)3x^2+2x=-i\\\\3x^2+2x+i=0\\\\x_{3,4}= \frac{-2\pm \sqrt{4-12i} }{6}= \frac{-2\pm 2\sqrt{1-3i} }{6} = \frac{-1\pm \sqrt{1-3i} }{3}$

Еще раз, это комплексные корни! Не вещественные! Если вы не проходили комплексные числа, пишите - "Данное уравнение не имеет вещественных корней".

2.

$t=3x^2+2x\\\\t^2-1=0\\\\t^2=1\\\\t_{1,2}=\pm1$

Откуда:

$\displaystyle 1)\\\\3x^2+2x=1\\\\3x^2+2x-1=0\\\\x_{1,2}= \frac{-2\pm \sqrt{4+12} }{6}= \frac{-2\pm4}{6}= \frac{1}{3} ,(-1)\\\\2)\\\\3x^2+2x=-1\\\\3x^2+2x+1=0\\\\x_{3,4}= \frac{-2\pm \sqrt{4-12} }{6}$

Опять же, существует (как мы увидели) два вещественных корня, но есть и два комплексных. Если вы проходили комплексные числа, решаем дальше:

$\displaystyle x_{3,4}= \frac{-2\pm \sqrt{4-12} }{6}= \frac{-2\pm \sqrt{-8} }{6}= \frac{-2\pm 2i \sqrt{2} }{6}= \frac{-1\pm i \sqrt{2} }{3}$

Однако если вы не проходили комплексные числа, записываем только первые два корня.

3.

$\displaystyle 3x^2+2x=t\\\\t^2+2t-3=0\\\\t_{1,2}= \frac{-2\pm \sqrt{4+12} }{2}= \frac{-2\pm 4}{2}=1,(-3)$

Откуда:

$\displaystyle 1) \\\\3x^2+2x=1\\\\3x^2+2x-1=0\\\\x_{1,2}= \frac{-2\pm \sqrt{4+12} }{6}= \frac{-2\pm 4}{6}= \frac{1}{3},(-1)\\\\2)\\\\3x^2+2x=-3\\\\3x^2+2x+3=0\\\\x_{3,4}= \frac{-2\pm \sqrt{4-36} }{6}$

Опять же, существует (как мы увидели) два вещественных корня, но есть и два комплексных. Если вы проходили комплексные числа, решаем дальше:

$\displaystyle x_{3,4}=\frac{-2\pm \sqrt{4-36} }{6} = \frac{-2\pm \sqrt{-32} }{6}= \frac{-2\pm 4i \sqrt{2} }{6} = \frac{-1\pm 2i \sqrt{2} }{3}$

Однако если вы не проходили комплексные числа, записываем только первые два корня.

4.

$\displaystyle 2x^2+1=t\\\\t-3 \sqrt{t}=0\\\\t=3 \sqrt{t}\Leftrightarrow \left \{ {{t^2=9t} \atop {t \geq 0}} \right. \\\\t^2-9t=0\\\\t(t-9)=0\\\\t_{1,2}=9,0$

Откуда:

$\displaystyle 1)\\\\2x^2+1=9\\\\2x^2=8\\\\x^2=4\\\\x_{1,2}=\pm 2\\\\2)\\\\2x^2+1=0\\\\2x^2=-1\\\\x^2=- \frac{1}{2}\\\\x_{3,4}=\pm \sqrt{- \frac{1}{2} }$

Опять же, существует (как мы увидели) два вещественных корня, но есть и два комплексных. Если вы проходили комплексные числа, решаем дальше:

$\displaystyle x_{3,4}=\pm \sqrt{- \frac{1}{2} }=\pm i \sqrt{ \frac{1}{2} } =\pm \frac{i \sqrt{2} }{2}$

Однако если вы не проходили комплексные числа, записываем только первые два корня.

Newtion_zn (46.3k баллов) 09 Май, 18